Ensembles finis Exemples

$\log_{b} (x) = \frac{3}{2} \cdot \log_{b} (9) - \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\log_{b} (9)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2}{3} \log_{b} (27)$

Étape 1.1.2

Associez $\log_{b} (27)$ et $\frac{2}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{\log_{b} (27) \cdot 2}{3}$

Étape 1.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ par $6$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ par $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $6$ à gauche de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (9) \cdot 3 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ dans le numérateur.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2))$

Étape 2.3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Étape 2.3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 2 \log_{b} (27) \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $6 \log_{b} (x)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez $9 \log_{b} (9)$ en déplaçant $9$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (9^{9}) - 4 \log_{b} (27)$

Étape 4.1.1.2

Élevez $9$ à la puissance $9$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - 4 \log_{b} (27)$

Étape 4.1.1.3

Simplifiez $- 4 \log_{b} (27)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (27^{4})$

Étape 4.1.1.4

Élevez $27$ à la puissance $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (531441)$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{387420489}{531441})$

Étape 4.1.3

Divisez $387420489$ par $531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

Étape 5

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{6} = 729$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt[6]{729}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $729$ comme $3^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$